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统计力学Ⅱ——3自发对称破缺和Goldstone模式

统计力学中，自发对称破缺指系统微观哈密顿量具有某种对称性，但低温相因特定方向选择而破坏该对称性并建立长程序，戈德斯通模式是这种对称破缺系统中的低能激发，当离散对称性被破坏时无此模式，Mermin-Wagner定理表明短程相互作用的二维及以下系统中不存在自发连续对称破缺。

方向场Hamiltonian在连续化后表现为：$$H_{dir} to frac{Jn_cr_c^2}{2}rhoint d^3 x |nablavec{pi}(x)|^2$$角度关联随距离增加呈幂律衰减（反比关系），体现长程关联。Goldstone模式：自发对称破缺（如鸟群选择运动方向）导致局域基态在空间缓慢变化，形成波长极长、激发能几乎为零的激发态。

本·戈德斯通2025-2026积分（戈德斯比）

XY 模型在统计力学领域的探索展示了其在拓扑缺陷行为上的独特性质。在连续对称性破缺的二维系统中，Goldstone 模式在热激发作用下破坏自发序，而重整化群方法在 n 分量非线性方程中的相变温度附近趋于零。